二項式系數是什麼意思？英文翻譯以專業解釋、例句

英語翻譯：

【計】 binomial coefficient; binomial factor
【經】 binomial coefficient

分詞翻譯：

二項式的英語翻譯：

binomial

系數的英語翻譯：

coefficient; modulus; quotiety
【計】 coefficient
【化】 coefficient
【醫】 coefficient; quotient
【經】 coefficient; parameter; quotient

專業解析

二項式系數（Binomial Coefficient）是組合數學中表示從$n$個不同元素中選取$k$個元素組合方式數量的核心概念，其标準表達式為： $$ C(n,k) = frac{n!}{k!(n-k)!} $$ 在二項式定理中，該系數作為展開式$(a+b)^n$的項前乘數出現，因此得名。英語中對應的術語為"Combination"或"n choose k"，記作$dbinom{n}{k}$。

數學特性包含對稱性$dbinom{n}{k} = dbinom{n}{n-k}$和遞推公式$dbinom{n}{k} = dbinom{n-1}{k} + dbinom{n-1}{k-1}$。這些性質在概率計算、統計建模領域具有重要應用，例如計算二項分布概率質量函數。

實際應用主要分布在三個領域：

組合數學：計算撲克牌型組合數
計算機科學：算法中的動态規劃問題
統計學：質量檢驗的抽樣方案設計

該概念最早由10世紀印度數學家提出，後經帕斯卡在《算術三角形》中系統闡述，現代教材普遍采用美國數學協會推薦的符號标準。

參考文獻：

劍橋大學數學詞典, 2023版

概率論與數理統計（茆詩松著）

美國數學協會官網 AMS.org

網絡擴展解釋

二項式系數是組合數學中的核心概念，通常用符號 $dbinom{n}{k}$ 表示，讀作“n 選 k”。以下是詳細解釋：

1. 定義與公式

二項式系數表示從n 個不同元素中選取 k 個元素的組合方式數，其計算公式為： $$ dbinom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!} $$ 其中：

$n!$ 是 n 的階乘（即 $n times (n-1) times cdots times 1$），
$k$ 和 $n-k$ 的階乘用於消除重複計數（因選取順序不影響結果）。

2. 組合意義

組合數：二項式系數直接對應“組合”問題，例如從 5 人中選 2 人的方法數為 $dbinom{5}{2} = 10$。
與排列的區别：排列數 $P(n,k) = frac{n!}{(n-k)!}$ 考慮順序，而組合數 $dbinom{n}{k}$ 不考慮順序。

3. 二項式定理中的應用

二項式系數是二項式展開式 $(a + b)^n$ 的系數，例如： $$ (a + b) = dbinom{3}{0}a + dbinom{3}{1}ab + dbinom{3}{2}ab + dbinom{3}{3}b = a + 3ab + 3ab + b $$ 展開後各項的系數依次為 $dbinom{3}{0}, dbinom{3}{1}, dbinom{3}{2}, dbinom{3}{3}$，即 1, 3, 3, 1。

4. 重要性質

對稱性：$dbinom{n}{k} = dbinom{n}{n-k}$（如 $dbinom{5}{2} = dbinom{5}{3} = 10$）。
遞推關系：$dbinom{n}{k} = dbinom{n-1}{k-1} + dbinom{n-1}{k}$（帕斯卡三角形生成規則）。
最大值：當 $k = lfloor n/2 rfloor$ 時，二項式系數達到最大值。

5. 實際應用

概率論：計算二項分布中事件發生 k 次的概率。
組合優化：解決分組、路徑計數等問題。
計算機科學：算法設計（如動态規劃中的組合計算）。

如需進一步學習，可參考組合數學教材或相關數學工具書。