二項式分布是什麼意思？英文翻譯以專業解釋、例句

英語翻譯：

【化】 binomial distribution

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

項的英語翻譯：

nape; nucha; sum; term
【計】 item
【醫】 nape; nape of neck; nucha; scruff of neck; trachel-; trachelo-
【經】 item

式的英語翻譯：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【醫】 F.; feature; formula; Ty.; type

分布的英語翻譯：

【化】 distribution
【醫】 distribution; supply

專業解析

二項式分布（Binomial Distribution）是概率論與統計學中描述固定次數獨立伯努利試驗中成功次數的離散概率分布。其中文名“二項式”源於其概率公式與二項式展開的系數關聯，英文對應術語為 Binomial Distribution。

一、核心定義

適用場景：
重複進行 (n) 次獨立的隨機試驗，每次試驗僅有兩種互斥結果（“成功”或“失敗”），且每次“成功”的概率恒為 (p)（(0 leq p leq 1)）。

隨機變量：
定義隨機變量 (X) 為 (n) 次試驗中“成功”的次數，則 (X) 服從參數為 (n, p) 的二項分布，記為： $$ X sim text{Binomial}(n, p) $$

二、概率質量函數（PMF）

(X) 取值 (k)（(k = 0, 1, 2, ldots, n)）的概率為： $$ P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$ 其中：

(binom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!}) 是二項系數，表示從 (n) 次試驗中選出 (k) 次成功的組合數；
(p^k) 為 (k) 次成功的概率；
((1-p)^{n-k}) 為剩餘 (n-k) 次失敗的概率。

三、關鍵性質

度量	計算公式	說明
期望（均值）	(E(X) = np)	成功次數的平均預期值
方差	(text{Var}(X) = np(1-p))	描述成功次數的離散程度
标準差	(sigma_X = sqrt{np(1-p)})	方差的平方根

四、典型應用場景

質量控制：抽樣檢驗 (n) 件産品中的不合格品數量（(p) 為單件不合格概率）。
醫學研究：(n) 名患者中藥物治療有效的病例數（(p) 為單次治療有效率）。
自然語言處理：文本中特定詞出現的頻次分析。

五、術語中英對照

中文術語	英文術語
二項式分布	Binomial Distribution
伯努利試驗	Bernoulli Trial
概率質量函數	Probability Mass Function
期望	Expected Value
方差	Variance

權威參考來源

《中國大百科全書》數學卷：定義二項分布為“離散型隨機變量的重要分布之一”，強調其與伯努利試驗的理論關聯。
牛津統計學詞典（Oxford Dictionary of Statistics）：明确二項分布描述“固定次數獨立二元試驗的成功計數”。
高等教育出版社《概率論與數理統計》：給出概率公式的完整推導及性質證明。

（注：因未搜索到可驗證的線上權威鍊接，此處引用經典教材與工具書作為學術依據，建議用戶通過圖書館或學術數據庫獲取原文。）

網絡擴展解釋

二項式分布是概率論中一種重要的離散型概率分布，用於描述在固定次數的獨立重複試驗中，某事件成功次數的概率分布。以下是其核心要點：

1. 定義與適用條件

適用場景：當試驗滿足以下條件時適用：
- 每次試驗僅有兩種結果（如“成功”或“失敗”）；
- 各次試驗相互獨立；
- 每次成功的概率 ( p ) 恒定，失敗概率為 ( 1-p )。
典型例子：抛硬币10次出現正面的次數、生産100個産品中的次品數量等。

2. 概率公式

二項式分布的概率質量函數為： $$ P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$

符號解釋：
- ( n )：總試驗次數；
- ( k )：成功次數（( 0 leq k leq n )）；
- ( p )：單次試驗成功的概率；
- ( binom{n}{k} )：組合數，表示從 ( n ) 次試驗中選出 ( k ) 次成功的組合方式，計算公式為 ( frac{n!}{k!(n-k)!} )。

3. 期望與方差

期望（均值）：表示平均成功次數： $$ E(X) = np $$
方差：描述數據的離散程度： $$ text{Var}(X) = np(1-p) $$

4. 實際應用

質量控制：計算生産批次中次品數量的概率。
醫學研究：評估某種藥物在臨床試驗中的有效性。
金融風險：預測投資組合中違約事件發生的可能性。

5. 與其他分布的關系

泊松分布：當 ( n ) 很大且 ( p ) 很小時，二項式分布近似泊松分布。
正态分布：當 ( n ) 較大且 ( p ) 接近0.5時，可用正态分布近似（中心極限定理）。

二項式分布通過固定試驗次數、恒定成功概率和獨立性的假設，為計算特定成功次數的概率提供了簡潔的數學模型，廣泛應用於統計學、工程學和社會科學等領域。