偏微商是什麼意思？英文翻譯以專業解釋、例句

英語翻譯：

【計】 partial derivative

分詞翻譯：

偏的英語翻譯：

deflection; leaning; partial; prejudiced; slanting
【化】 meta-
【醫】 meta-

微商的英語翻譯：

【計】 differential quotient

專業解析

在數學分析中，偏微商（partial derivative）是多元函數微分學中的核心概念，用於描述函數在某一變量方向上的局部變化率。其英文術語"partial derivative"最早由法國數學家Adrien-Marie Legendre於18世紀提出，後經Augustin-Louis Cauchy等人系統化發展。

定義與符號表示

設函數$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$在點$(a_1,a_2,cdots,a_n)$的某鄰域内有定義，當固定其他變量時，僅對第$i$個變量$x_i$求導所得導數即為偏導數，記為： $$ frac{partial f}{partial xi}bigg|{(a_1,cdots,an)} = lim{h to 0} frac{f(a_1,cdots,a_i+h,cdots,a_n) - f(a_1,cdots,a_n)}{h} $$ 其中符號$partial$是專門用於偏導數的微分算符，區别於單變量導數的$d$符號。

核心特征

方向敏感性：僅反映特定變量方向的函數變化，如熱傳導方程中溫度對空間坐标的偏導數描述熱量分布特征
幾何意義：對應多元函數曲面在坐标軸方向的切線斜率
可微性關聯：連續偏導數存在是函數可微的充分條件（Clairaut定理）

漢英術語對照

《數學名詞審定委員會》将"偏導數"規範翻譯為"partial derivative"，其運算符$partial$在英文文獻中讀作"partial"或"curly d"。該術語體系被收錄於《中國科技術語》期刊及ISO 80000-2國際标準。

工程領域常見於以下場景：

電磁場分析中的麥克斯韋方程組（$ abla times E = -partial B/partial t$）
流體力學Navier-Stokes方程
熱力學狀态方程的參數敏感性分析

參考資料：

《數學分析教程》（高等教育出版社）
MIT OpenCourseWare Multivariable Calculus課程資料
美國數學學會(AMS)數學術語數據庫

網絡擴展解釋

根據數學領域的定義，偏微商（又稱偏導數）是多變量函數中對其中一個變量求導的運算，同時保持其他變量恒定。以下是詳細解釋：

定義與公式

對於二元函數 ( f(x, y) )，其在點 ( (a, b) ) 處關於 ( x ) 的偏微商定義為： $$ frac{partial f}{partial x}bigg|{(a,b)} = lim{h to 0} frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h} $$ 類似地，關於 ( y ) 的偏微商寫作： $$ frac{partial f}{partial y}bigg|{(a,b)} = lim{h to 0} frac{f(a, b+h) - f(a, b)}{h} $$

核心特點

單變量求導：每次隻對一個變量求導，其他變量視為常數。例如，函數 ( f(x,y) = x + xy ) 對 ( x ) 的偏導數為 ( 2x + y )，而對 ( y ) 的偏導數為 ( x )。
幾何意義：偏導數表示函數在某一坐标軸方向上的變化率。例如，( frac{partial f}{partial x} ) 反映函數沿 ( x ) 軸方向的斜率。
與全導數的區别：全導數考慮所有變量同時變化的影響，而偏導數僅關注單一變量的變化。

應用場景

向量分析：用於梯度、散度等物理量的計算。
微分幾何：描述曲面在不同方向的變化特性。
工程與經濟學：多變量優化問題中，偏導數幫助尋找極值點。

示例

假設函數 ( f(x, y, z) = x y + z )，在點 ( (1, 1, 3) ) 處：

關於 ( x ) 的偏導數為 ( 2xy = 2 times 1 times 1 = 2 )；
關於 ( y ) 的偏導數為 ( x = 1 = 1 )；
關於 ( z ) 的偏導數為 ( 1 )。

總結來說，偏微商是分析多變量函數局部性質的基礎工具，廣泛應用於自然科學和工程領域。