鄰域是什麼意思？英文翻譯以專業解釋、例句

英語翻譯：

【計】 neighbourhood

分詞翻譯：

鄰的英語翻譯：

adjacent; near; neighbour
【化】 ortho-
【醫】 o-; ortho-

域的英語翻譯：

field; region; territory
【計】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

專業解析

在數學分析中，"鄰域"（neighborhood）是拓撲學核心概念，指圍繞某一點的所有鄰近點組成的集合。根據《新牛津英漢雙解大詞典》釋義，該術語對應英文"neighborhood"，特指"包含給定點及其周圍點的集合"。

從數學嚴格定義看，設實數集$mathbb{R}$中存在點$a$，其ε-鄰域可表示為： $$ N_varepsilon(a) = { x in mathbb{R} mid |x - a| < varepsilon } $$ 其中ε為任意正實數，該公式描述以$a$為中心、半徑為ε的開區間。這一概念在極限理論、連續函數定義中起基礎作用，如《數學分析（第四版）》指出"函數連續性需滿足：對任意ε>0，存在δ鄰域使函數值變化小于ε"。

在應用層面，鄰域概念延伸出多種形态：拓撲鄰域、球形鄰域、去心鄰域等。美國數學學會（AMS）将其定義為"包含給定點的開集"，而《實變函數與泛函分析》特别強調"開集本身即是其中每一點的鄰域"。

參考資料：

牛津大學出版社《新牛津英漢雙解大詞典》

Springer《Encyclopedia of Mathematics》

高等教育出版社《數學分析（第四版）》

美國數學學會術語數據庫

人民教育出版社《實變函數與泛函分析》

網絡擴展解釋

“鄰域”是數學中用于描述“某點附近區域”的核心概念，在不同領域有具體定義：

1.一般數學分析中的鄰域

在實數集或度量空間中，點$a$的鄰域指以$a$為中心、半徑為$varepsilon$（$varepsilon > 0$）的開區間或開球：

一維情況：$text{鄰域} = (a-varepsilon, a+varepsilon)$
二維情況：$text{鄰域} = { (x,y) mid sqrt{(x-a) + (y-b)} < varepsilon }$

2.拓撲學中的鄰域

在更抽象的拓撲空間中，集合$U$稱為點$p$的鄰域，若存在一個開集$V$滿足： $$ p in V subseteq U $$ 此時鄰域不依賴距離，僅通過開集定義空間局部性質。

3.特殊類型鄰域

去心鄰域：排除中心點$a$的鄰域，寫作$0 < |x-a| < varepsilon$，用于極限定義。
閉鄰域：包含邊界的鄰域，如閉區間$[a-varepsilon, a+varepsilon]$。

4.應用場景

極限與連續：函數$f(x)$在$a$處連續，需滿足對任意$varepsilon$-鄰域内的$f(x)$值，存在對應的$delta$-鄰域。
拓撲性質：通過鄰域定義開集、閉集、連通性等。

示例

在實數軸上，點$2$的$varepsilon=0.5$鄰域是區間$(1.5, 2.5)$。
在拓撲空間$mathbb{R}$中，以$(0,0)$為中心的鄰域可以是任意包含該點的開圓盤。

鄰域的核心思想是描述“局部範圍”，為分析連續性、收斂性等提供基礎工具。