多重集是什么意思？英文翻译以专业解释、例句

英语翻译：

【计】 multiset

excessive; many; more; much; multi-
【计】 multi
【医】 multi-; pleio-; pleo-; pluri-; poly-

again; layer; repeat; scale; weight
【计】 repetitive group
【医】 hyper-; weight; wt.

collect; collection; gather; volume
【电】 set

多重集（Multiset）是数学和计算机科学中的基础概念，指允许元素重复出现的集合。其核心特征在于：同一个元素可以出现多次，这与传统集合（Set）中元素的互异性形成鲜明对比。在汉英词典中，该术语通常对应英文“multiset” 或“bag”。

元素可重复性
多重集明确允许同一元素存在多个实例。例如，多重集 {a, a, b} 包含两个 "a" 和一个 "b"，而传统集合中 {a, a, b} 等同于 {a, b}。
元素频次（Multiplicity）
每个元素的出现次数称为其“重数”或“频次”。例如，在多重集 {apple, apple, orange} 中，"apple" 的重数为 2，"orange" 的重数为 1。
与集合的区别
- 传统集合（Set）：元素唯一，无序（如 {1,2,3}）。
- 多重集（Multiset）：元素可重复，无序（如 {1,1,2}）。
- 序列（Sequence）：元素可重复，有序（如 (1,1,2)）。

多重集可通过重数函数形式化定义：

设全集为 ( U )，多重集 ( M ) 由函数 ( m: U to mathbb{N} ) 表示，其中 ( m(x) ) 为元素 ( x ) 的重数。

例如：( M = { a times 2, b times 1 } ) 表示元素 ( a ) 出现 2 次，( b ) 出现 1 次。

常见运算包括：

组合数学
用于计算带重复元素的排列组合问题，如单词 "MISSISSIPPI" 的字母排列数计算需考虑字母重复频次。
计算机科学
- 数据结构：如 Python 的 collections.Counter 直接实现多重集。
- 数据库查询：SQL 中的 GROUP BY 与计数本质是多重集操作。
- 算法设计：在字符串匹配、概率统计中广泛应用。
概率与统计
描述抽样结果时，多重集可表示有放回抽样中的元素分布。

《牛津英汉双解数学词典》（Oxford Concise Dictionary of Mathematics）
定义多重集为“允许成员重复出现的集合，每个成员的重数记录其出现次数”。

（来源：牛津大学出版社学术工具书）
IEEE 计算机学会术语库
将 "multiset" 描述为“无序但元素可重复的有限集合”，强调其在算法分析中的重要性。

（来源：IEEE Computer Society Glossary）
组合数学经典教材
Richard P. Stanley 在《Enumerative Combinatorics》中系统讨论多重集在计数问题中的理论框架。

（来源：Cambridge University Press 学术专著）

注：以上定义综合了离散数学、计算机科学及词典学权威来源，确保术语解释的准确性与跨学科一致性。

多重集是数学中的一种数据结构，是传统集合概念的扩展，具有以下核心特征：

定义与基本性质
多重集允许同一元素多次出现，而传统集合中每个元素只能存在一次。例如，{1,2,3}是普通集合，而（常用方括号标记）是多重集。
重数与势
- 重数：元素在多重集中出现的次数称为重数。例如在中，元素1的重数为3，2的重数为2。
- 势（元素总数）：通过累加所有元素的重数计算。上述示例的势为 $3+2+1=6$。
与有序结构的区别
多重集不考虑元素顺序，例如和视为同一多重集。这与数组、元组等有序结构形成对比。
数学与编程中的应用
- 排列计算：若多重集包含 $n$ 个元素（总重数为 $n$），其不同排列数为 $frac{n!}{k_1! cdot k_2! cdots k_m!}$，其中 $k_i$ 是各元素重数。
- 编程实现：如C++的multiset容器支持存储重复元素，并提供插入、删除等操作。
扩展说明
多重集概念于20世纪70年代被正式提出，用于解决需要统计元素重复次数的场景，如概率统计、组合优化等。

示例对比